ความน่าจะเป็น (Probability)

ที่มา : https://nkw05640.wordpress.com

ในการพิจารณาว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใดนั้น สามารถทำได้ 2 วิธี ได้แก่

1. ทำการทดลองสุ่มนั้นซ้ำๆ กัน เป็นจำนวนอนันต์ (Infinity)

ซึ่งจะสมมติให้ N แทน จำนวนครั้งของการทดลองสุ่ม

n แทน จำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ E ที่สนใจ

และ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ E ที่สนใจ

พบว่า อัตราส่วน n/N จะบอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ E ที่สนใจ มีดอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด

ดังนั้น P(E)= limit ของ n/N เมื่อ N เข้าสู่ infinity

ซึ่งเราจะพบว่า จำนวนครั้งที่ทำการทดลองสุ่มยิ่งมากเท่าใด ก็จะได้ความน่าจะเป็นที่น่าเชื่อถือมากยิ่งขึ้นเท่านั้น

2. ใช้วิธีการหาความน่าจะเป็นโดยการคำนวณจากแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ที่สนใจของการทดลองสุ่มนั้น โดยหาอัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณี่สนใจกับจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ โดยแซมเปิลสเปซที่ใช้ในการคำนวณจะต้องเป็นเซตจำกัดและประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ข้อกำหนด n(S) แทน จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ S ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน

n(E) แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของ S

และ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E

ดังนั้น P(E) = n(E) / n(S)

หมายเหตุ ข้อกำหนดนี้ ใช้คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จาดแซมเปิลสเปซที่เป็นเซตจำกัด และสมาชิกแต่ละตัว มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน

ในอีกทางหนึ่ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่บิกให้ทราบว่าตุการณ์ที่เราสนใจมีดอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด กล่าวคือ

ถ้า P(E) = 0 เหตุการณ์ E จะไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย

P(E) = 1 เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นแน่นอน

P(E) = 0.5 เหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน

P(E1) = 0.4 และ P(E2) = 0.8 เหตุการณ์ E2 มีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าเหตุการณ์ E1

นั่นแสดงว่า P(E) มีค่าตั้งแต่ 0-1

ตัวอย่างที่ 1 ในการหยิบไพ่มา 1 ใบ จากไพ่ 1 สำรับ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ

วิธีทำ สมมติให้ E แทน เหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ

และ S แทน แซมเปิลสเปซ

จะได้ n(E) = 13

และ n(S) = 52

จากสูตร P(E) = n(E) / n(S)

จะได้ P(E) = 13 / 52

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำเท่ากับ 13/52

ตัวอย่างที่ 2 ครอบครัวหนึ่งมีลูกสองคน จงหาความน่าจะเป็นของครอบครัวนั้น ถ้า

1. ลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย

2. ไม่มีลูกชายเลย

3. มีลูกชายมากกว่า 1 คน

4. มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน

5. มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน

6. มีลูกชาย 3 คน

วิธีทำ

สมมติให้ E1 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย

E2 แทน เหตุการณ์ที่ไม่มีลูกชายเลย

E3 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชายมากกว่า 1 คน

E4 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน

E5 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน

E6 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 3 คน

และ S แทน แซมเปิลสเปซ

จากโจทย์ จะได้ S = { (M, M), (M, W), (W, W), (W, M) }

แสดงว่า n(S) = 4

1. E1 = { (W, M) }

จะได้ n(E1) = 1

ดังนั้น P(E1) = 1/4 2. E2 = { (W, W) }

จะได้ n(E2) = 1

ดังนั้น P(E2) = 1/4

3. E3 = { (M, M) }

จะได้ n(E3) = 1

ดังนั้น P(E3) = 1/4

4. E4 = { (M, W), (W, M), (W, W) }

จะได้ n(E4) = 3

ดังนั้น P(E4) = 3/4

5. E5 = { (M, W), (W, M) }

จะได้ n(E5) = 2

ดังนั้น P(E5) = 2/4

6. E6 ไม่มี แสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเหตุการณ์แบบนี้ขึ้นเลย

จะได้ n(E6) = 0

ดังนั้น P(E6) = 0

การใช้วิธีเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ในการหาความน่าจะเป็น

ตัวอย่างที่ 3 ถ้าหยิบลูกหิน 3 ลูกจากกล่องที่มีลุกหินสีน้ำเงิน 4 ลูก และสีแดง 7 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกหินสีน้ำเงิน 3 ลูก

วิธีทำ

1. การหยิบลูกหิน 3 ลุก จากหินทั้งหมด 11 ลูก จะสามารถทำได้ C(11, 3) = 165 วิธี

แสดงว่า n(S) = 165

2. การหยิบลูกหิน 3 ลูก แล้วหยิบได้ลูกหินสีน้ำเงิน 3 ลูก สามารถทำได้ C(4, 3) = 4 วิธี

แสดงว่า n(E) = 4

จากสูตร จะได้ P(E) = 4 / 165

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกหินสีน้ำเงิน 3 ลูก เท่ากับ 4/165

ตัวอย่างที่ 4 มีตัวเลขอยู่ 8 จำนวน เป็นเลขคู่บวก 3 จำนวน จำนวนคี่บวก 3 จำนวน จำนวนคี่ลบ 1 จำนวน จำนวนคู่ลบอีก 1 จำนวน ถ้าสุ่มตัวเลขจำนวนดังกล่าวมา 4 จำนวน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของเลขทั้งสี่จำนวนมีค่าน้อยกว่า 0 และเป็นเลขคี่

วิธีทำ

1. ทำการสุ่มตัวเลข 4 จำนวน จากเลขทั้งหมด 8 จำนวน จะสามารถทำได้ C(8, 4) = 70 วิธี

แสดงว่า n(S) = 70

2. การที่จะให้ได้ผลคูณของตัวเลขทั้งสี่จำนวนนั้นเป็นเลขที่มีค่าน้อยกว่า 0 และเป็นเลขคี่ จะต้องเลือกเลขบวก ซึ่งเป็นจำนวนคี่ 3 จำนวน และเลขลบซึ่งเป็นจำนวนคี่ 1 จำนวน สามารถทำได้ C(3, 3) . C(1, 1) = 1 . 1 = 1 วิธี

แสดงว่า n(E) = 1

จากสูตร จะได้ P(E) = 1/ 70

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ผลคูณของเลขทั้งสี่จำนวนมีค่าน้อยกว่า 0 และเป็นเลขคี่ เท่ากับ 1/70

ตัวอย่างที่ 5 เรือนรับรองหลังหนึ่งมี 3 ห้องนอน ห้องหนึ่งพักได้ 3 คน ส่วนอีก 2 ห้อง พักได้ห้องละ 2 คน ถ้ามีแขก 7 คน เป็นหญิง 3 คน ชาย 4 คน จะเดินทางมาพักโดยไม่ระบุเพศให้ทราบล่วงหน้า จงหาความน่าจะเป็นที่จะจัดให้หญิงทั้ง 3 คน พักห้องเดียวกัน

วิธีทำ

1. การจัดคน 7 คน เข้าห้องพัก สามารถทำได้ 7! / 3! . 2! . 2! = 210 วิธี

แสดงว่า n(S) = 210

2. การจัดให้หญิง 3 คน ได้พักห้องเดียวกัน มีขั้นตอนดังนี้

ขั้นที่ 1 เลือกห้องนอนที่หญิง 3 คน พักด้วยกัน สามารถทำได้ C(1, 1) = 1 วิธี

ขั้นที่ 2 การจัดผู้ชาย 4 คน เข้าห้องนอนที่เหลือ 2 ห้อง สามารถทำได้ C(4, 2) = 6 วิธี

แสดงว่า n(E) = 1 . 6 = 6

จากสูตร จะได้ P(E) = 6 / 210

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะจัดให้หญิง 3 คน ได้พักห้องเดียวกันเท่ากับ 1/35

ตัวอย่างที่ 6 เอกับบี สลับกันโยนลูกเต๋าครั้งละสองลูก ใครโยนได้ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเท่ากับ 7 ก่อน จะเป็นผู้ชนะ ถ้าเอเป็นคนเริ่มโดยนก่อน จงหาความน่าจะเป็นที่เอจะเป็นผู้ชนะ

วิธีทำ สมมติให้
E แทน เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเท่ากับ 7

E’ แทน เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองไม่เท่ากับ 7

และ S แทน แซมเปิลสเปซ

1. การโยนลูกเต๋า 2 ลูก จะเกิดขึ้นได้ 6 . 6 = 36 แบบ

แสดงว่า n(S) = 36

2. ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเท่ากับ 7

E = { (1, 6), ( 2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) }

แสดงว่า n(E) = 6

จากสูตร จะได้ P(E) = 6/36 = 1/6

และ P(E’) = 1 – P(E) = 1 – (1/6) = 5/6

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เอจะเป็นผู้ขนะ เท่ากับ 5/6

ตัวอย่างที่ 7 ในการลากจุดเชื่อมจุดยอด 2 จุด ใดๆ ของรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าที่แนบในวงกลม โดยที่เส้นนั้นๆ ไม่ใช่ด้านของรูปสิบเหลี่ยมดังกล่าว จงหาความน่าจะเป็นที่เส้นเชื่อมนั้นไม่ใช่เส้นรอบรุป และไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม

วิธีทำ สมมติให้
E แทน เหตุการณ์ที่เส้นลากเชื่อมจุดยอด 2 จุดใดๆ ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม

E’ แทน เหตุการณ์ที่เส้นลากเชื่อมจุดยอด 2 จุดใดๆ ไม่ใช่เส้นรอบรูป และไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม

และ S แทน แซมเปิลสเปซ (เส้นทแยงมุมทั้งหมด)

1. จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ C(10, 2) – 10 = 35 เส้น

แสดงว่า n(S) = 35

2. จำนวนเส้นลากเชื่อมจุด 2 จุดใดๆ ที่ผ่านศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 5 เส้น

แสดงว่า n(E) = 5

P(E) = 5/35 = 1/7

P(E’) = 1 – P(E) = 6/7

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เส้นเชื่อมนั้นไม่ใช่เส้นรอบรูป และไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 6/7

ที่มา : http://www.tewlek.com/anet_prob.html

ค้นหาบล็อกนี้

ความน่าจะเป็น